Систему уравнений, состоящую из нелинейных алгебраических и трансцендентных уравнений, будем называть системой нелинейных уравнений (СНУ).
В общем виде такую систему записывают следующим образом:
Решением системы является вектор переменных х, обращающий каждое уравнение системы в тождество.
У системы нелинейных уравнений определить количество векторов-решений заранее невозможно. Система как не иметь решений вообще, так и иметь одно, два или даже бесконечное множество решений.
В связи с этим, методы численного решения СНУ требуют, чтобы начальное приближение было задано достаточно близко к искомому решению. Начальное приближение определяют либо графически (если это возможно), либо грубой прикидкой.
Решением системы является вектор переменных х, обращающий каждое уравнение системы в тождество.
У системы нелинейных уравнений определить количество векторов-решений заранее невозможно. Система как не иметь решений вообще, так и иметь одно, два или даже бесконечное множество решений.
В связи с этим, методы численного решения СНУ требуют, чтобы начальное приближение было задано достаточно близко к искомому решению. Начальное приближение определяют либо графически (если это возможно), либо грубой прикидкой.
Метод ньютона иначе называют методом последовательных приближений.
Предположим, что найдено k-ое приближение одного из изолированных корней
векторного уравнения: 
.
Тогда точный корень можно представить в виде 
(3), где 
.
Предположим, что функция f(x) непрерывно дифференцируема в некоторой выпуклой области, содержащей x и x(k). Разложим левую часть уравнения по степеням вектора (значения которого невелики) в ряд Тейлора, причем ограничимся только линейными членами ряда:
(5).
В формуле (5) под производной следует понимать матрицу Якоби системы функций f относительно переменных x, т.е.
Следовательно, формула для получения приближений (формула Ньютона), выглядит так:
Точное решение системы получается в результате бесконечного итерационного процесса, но так как на практике зачастую требуется получить приближенное решение, найденное с некоторой точностью, будем проводить вычисления до тех пор, пока не выполнится неравенство:
Похожие статьи:
